Recueil du front d’onde

Le recueil du front d’onde préside à la réalisation d’un examen aberrométrique. La qualité optique de l’œil est très corrélée à l’existence de déphasages (différences de chemin optique) au sein du front d’onde. Les applications du recueil du front d’onde concernent principalement l’étude de certains symptômes visuels, dont on soupçonne l’origine d’être optique. En chirurgie réfractive, l’étude préopératoire des aberrations optiques permettra de déterminer l’intérêt d’un traitement personnalisé et d’en programmer la délivrance en guidant les tirs du laser.

Analyse du front d’onde en aberrométrie

L’analyse des aberrations optiques de l’œil repose sur les travaux de Hartmann et Tscherning au 19^e siècle, qui ont donné naissance à deux catégories principales d’analyseurs de front d’ondes.

Hartmann a jeté les bases de l’analyse objective du front d’ondes recueilli après réflexion fovéolaire et traversée des différents milieux de l’œil (vitré, cristallin, chambre antérieure, face postérieure, stroma et face antérieure de la cornée, film lacrymal) (« outgoing reflective aberrometry » des analyseurs de front d’ondes de type Hartmann-Schack) (3).

A l’inverse, d’autres systèmes analysent le front d’ondes incident. L’analyseur de type Tscherning étudie le front d’ondes au travers de la distorsion d’une mire projetée sur la rétine. D’autres systèmes reposent sur un principe similaire, mais avec un recueil séquentiel et l’étude du déplacement de la projection de faisceaux laser par rapport au faisceau de référence (Laser Ray Tracing), ou après skiascopie automatisée par une fente rotative (2). Enfin, certains appareils permettent l’évaluation du front d’ondes en sollicitant les réponses subjectives du patient soumis à la projection de rayons lumineux sur la rétine.

Tous ces systèmes sont régis autour d’un principe commun : la reconstitution du front d’ondes en tant que surface tridimensionnelle est effectuée à partir de l’analyse de la distorsion subie par un signal. Les systèmes de type Hartmann Schack étant les plus fréquents, ils serviront d’exemples.

Etude du front d’ondes réfléchi : systèmes de type Hartmann-Schack

Ils dérivent du principe du disque de Scheiner (philosophe et astronome du début du 17^e siècle), qui permet de révéler l’image parasite d’un point observé par un œil pourvu d’aberrations optiques. La technique a évolué et s’est perfectionnée grâce aux travaux successifs de Hartmann, puis de Schack (3).

Principes du recueil du front d’onde

De façon schématique, les principales étapes permettant l’analyse du front d’ondes sont :

-émission d’un rayon laser incident centré sur la fovéa,
-recueil du signal réfléchi à la sortie de l’œil par une micro-réseau de lentilles,
-focalisation sur un capteur numérique du front d’ondes par chacune des lentilles du faisceau (le front d’ondes est ainsi « fragmenté » en plusieurs portions contiguës),
-mesure de la déviation du faisceau de chaque lentille par rapport à la position de référence (qui correspondrait à une portion de front d’ondes plat). La déviation correspond à l’écart de la position occupée par le centroide (image formée par la microlentille sur le capteur CCD) avec celle de référence.
-calcul mathématique par intégration, afin d’obtenir une représentation tridimensionelle du front d’onde.

Exemple : recueil d’un front d’onde « idéal » avec un aberromètre Schack Hartman

Nous raisonnerons de manière simplifiée, et dans un contexte purement « monofocal ». Pour un œil » idéal », c’est-à-dire dépourvu de toute aberration optique monochromatique (système uniquement limité par la diffraction pour les points sources situés à l’infini), le front d’ondes émergent tel qu’il est mesuré par l’aberromètre à la sortie de la pupille d’entrée est plat.

Aucune déviation n’est détectée par le réseau de microlentilles, chaque portion de ce « front d’onde » idéal à la sortie de l’oeil étant parallèle au plan de la microlentille. Il n’y a pas de différence de chemin optique pour tous les points de la pupille.

Si ce même front d’ondes était mesuré « à l’intérieur » de l’oeil, il serait parfaitement sphérique et centré sur la fovéa.

Etude du front d’ondes par imagerie rétinienne

L’étude du front d’onde par imagerie rétinienne est peu répandue en clinique. Elle repose sur l’étude de la déformation d’un signal mesurée au niveau rétinien.

-Analyseur de type Tscherning

Un réseau de fins rayons lumineux est obtenu à partir du filtrage d’un faisceau laser de 532 nm de longueur d’ondes par un masque perforé. Ces rayons sont projetés sur la rétine à travers les 10 mm cornéens centraux, permettant l’obtention d’un réseau de 13×13 points lumineux distribués sur une surface fovéale de 1mm carré environ. L’image de cette grille est recueillie par un capteur CCD et analysée par comparaison avec la distribution théorique obtenue pour un œil dépourvu d’aberrations optiques.

-Lancer de rayons rétiniens : système Tracey (retinal ray tracing)

Ce système repose sur un principe similaire à celui de l’analyseur de type Tscherning, mais la distribution et le recueil de l’image des spots projetés vers la rétine est effectuée de façon séquentielle afin d’éviter toute erreur de reconstruction, en particulier pour l’étude des yeux présentant un taux élevé d’aberrations optiques (exemple : aberromètre iTrace, Tracey technologies).

-Réfractométrie incidente ajustable (Ingoing adjustable refractometry)

Elle repose sur la correction manuelle de la perception de sources lumineuses émises au travers d’une même localisation ponctuelle au sein de la pupille d’entrée (principe du disque de Scheiner). Le degré d’angulation nécessaire à la superposition des points lumineux perçus mesure les aberrations optiques et est proportionnel à la pente du front d’ondes au niveau de la région testée de la pupille d’entrée.

Etude du front d’ondes par réfractométrie à balayage (système OPD scan)

Ce système dispose d’un dispositif émetteur rotatif, qui projette sur la rétine une succession de trains d’ondes de lumière infrarouge d’orientations différentes (analyse méridien par méridien) qui sont réfléchis sur la rétine, avant d’être captés à la sortie du globe oculaire par un réseau de photodétecteurs. Quand l’œil est emmétrope en regard du méridien analysé, l’ensemble des photodécteurs est stimulé en retour simultanément. En cas d’amétropie et/ou d’aberrations optiques, certains photodétecteurs sont stimulés en avance ou en retard. Le recueil et l’étude des différents déphasages temporels permettent la reconstruction d’un front d’ondes méridien par méridien. Ce système a été développé par la société Nidek.

Analyse du front d’ondes

Représentation du front d’onde

Le front d’onde est une construction théorique qui permet de représenter les différences de chemin optique (ou déphasage) sur l’ensemble de la pupille d’entrée (dans le cas de l’oeil, la pupille d’entrée correspond au pourtour de la pupille irienne). Pour être intelligible, l’analyse du front d’onde requiert que les aberrations qui s’y trouvent soient caractérisées (qualifiées) et quantifiées (taux). La représentation du front d’onde peut être effectuée par une décomposition en une somme de fonctions particulièrement intéressante dans ce contexte : les polynômes de Zernike. Les coefficients qui pondèrent ont une valeur proportionnelle à l’aberration optique qui leur correspond. Les premiers polynômes de Zernike s’interprètent aisément, car ils correspondent aux déphasages qu’infligent les aberrations optiques « classiques » comme le défocus, l’astigmatisme régulier, le coma, le trefoil, etc.

La base des polynômes de Zernike comprend théoriquement une infinité de polynômes; toutefois, le logiciel qui effectue la décomposition du front d’ondes travaille avec une « base tronquée » (c’est-à-dire un nombre limité de polynômes). Plus le nombre de polynômes choisis est faible, plus les calculs seront rapides, mais approchés (moins précis). De plus, le nombre de microlentilles de la matrice du capteur de l’aberromètre fixe le nombre maximal de points d’échantillonnage intervenant dans le calcul de décomposition du front d’ondes.

Principes de la décomposition en signaux élémentaires

L’analyse du front d’ondes en tant que surface tridimensionelle permet d’appréhender les aberrations optiques de l’œil. La décomposition en polynômes de Zernike permet d’extraire les informations utiles à l’analyse du front d’ondes utilisé ; il s’agit de convertir la surface du front d’ondes en une somme de surfaces élémentaires, qui correspondent chacune à un degré et un type particulier d’aberration optique.

Pour comprendre cette approche, il suffit de se souvenir que n’importe quel signal périodique, tel acoustique comme une note de musique, peut être décomposé en un certain nombre de « sous-signaux » élémentaires (harmoniques)

Principe de la décomposition d’un signal complexe en signaux élémentaires. Un signal complexe périodique peut être décomposé en harmoniques élémentaires affectées d’un coefficient particulier (décomposition spectrale). Dans cet exemple, trois harmoniques suffisent à la décomposition du signal complexe initial. L’addition de chacun de ces harmoniques permet de reconstituer le signal complexe : chaque harmonique est affectée d’un coefficient. Plus celui-ci est élevé, et plus son influence dans la forme du signal est importante (dans cet exemple, la forme globale du signal analysé est proche de l’harmonique (Sin 2θ). Ce type de décomposition en fonction sinusoïdale de fréquences croissantes (θ, 2θ, 3θ…) correspond à l’analyse de Fourier, qui vise à déterminer la valeur des coefficients à affecter à chacune des harmonique afin de reconstituer le signal initial par sommation. En général, plus le signal est complexe, et plus le nombre de signaux élémentaires nécessaires à sa description est élevé. Le principe utilisé pour la décomposition en polynômes de Zernike d’une surface telle que l’enveloppe d’un front d’onde est similaire. Chaque polynôme de Zernike peut être considéré comme une harmonique; l’analyse du front d’onde est effectuée en calculant la valeur du coefficient attribué à chacun des polynômes.

La transcription d’une surface d’onde recueillie en polynômes de Zernike s’apparente ainsi à la décomposition d’une note de musique en signaux harmoniques. En fonction du type d’instrument joué, l’intensité (nuance) de chaque harmonique sera différente et une valeur d’intensité pourra être attribuée à chaque signal harmonique. Au terme de ce processus, on aura décomposé la note initiale en une somme de signaux élémentaires affectés d’une valeur d’intensité sonore (amplitude du signal). Selon l’exactitude et le degré d’analyse pratiqué, il est possible de reconstituer secondairement plus ou moins fidèlement la note jouée à partir des informations fournies par le travail de décomposition initial. On pourra également extraire de la note une ou plusieurs harmoniques ; une note peut ainsi être « débarrassée » sélectivement d’harmoniques indésirables (pour une même note, le timbre d’un instrument de musique dépend de la composition harmonique de la note jouée).

Intérêt des polynômes de Zernike pour la description du front d’ondes

En aberrométr_e, les polynômes de Zernike se prêtent particulièrement à la décomposition du front d’ondes, de part leurs propriétés mathématiques et le fait que les premiers polynômes s’interprètent comme des aberrations optiques « classiques » en optique.

Représentation en échelle de gris correspondant à l’élévation verticale des 28 premiers polynômes de Zernike en fonction de leur fréquence azimutale et de leur ordre radial.

-Ils sont définis sur un disque de rayon unité; or, la pupille au travers duquel est transmis le front d’ondes s’apparente également à un disque;

-les premiers polynômes de Zernike ont une interprétation physique pratique, car comme énoncé précédemment, ils correspondent assez bien aux aberrations optiques classiques;

-chaque polynôme peut être affecté d’un coefficient numérique multiplicatif; ceci se produit lors de la décomposition de la surface du front d’ondes au moyen de ces polynômes;

-leur expression mathématique est relativement simple, puisqu’ils correspondent au produit d’une fonction polynômiale et d’une fonction trigonométrique; chaque famille de polynôme est définie par un degré ou ordre radial (correspondant au degré de la fonction polynômiale) et une fréquence spatiale (pour la fonction trigonométrique);

-ils possèdent des propriétés mathématiques intéressantes : ils sont orthogonaux entre eux, ce qui rend possible d’en modifier sélectivement les coefficients sans avoir à recalculer l’ensemble de ceux-ci. Ils sont également normalisés : la valeur RMS avec le plan moyen est égale à 1 pour chacun des polynômes.

Représentation schématique du polynôme de Zernike (hors facteur de normalisation) correspondant à l’astigmatisme triangulaire (trefoil) Z3-3 sur le disque pupillaire normalisé (rayon égal à 1) matérialisé sur cette figure par un contour vert. Il est égal au produit d’une fonction polynomiale du rayon de degré 3 (ρ3 ) où ρ représente la distance du point considéré au centre, et d’une fonction trigonométrique de fréquence azimutale égale à 3 (sin3θ), où θ correspond à l’angle fait avec l’horizontale du méridien où est situé le point considéré.

Les polynômes de Zernike forment une base vectorielle : ils permettent de décrire mathématiquement toute surface tridimensionelle au pourtour circulaire par un ensemble de coefficients, dont chacun est affecté à un polynôme donné. La somme de ces polynômes affectés de leurs coefficients reproduit la surface analysée, et ce d’autant plus fidèlement que le nombre de points analysés et de polynômes utilisés est important.

Décomposition du front d’ondes en polynômes élémentaires

Après mesure des déviations de la matrice de points par rapport à la grille de référence (œil idéal, dépourvu d’aberrations optiques), il est possible de reconstruire le front d’ondes comme une nappe formée de portions planes qui correpondent à chacune des microlentilles. Etant donné le nombre « fini » de ces « facettes » (égal au nombre de microlentilles), la surface n’est pas continue ; un lissage mathématique est donc effectué, avant de procéder à la décomposition en polynômes de Zernike. Le nombre de polynômes affectés à cette décomposition dépend du système utilisé ; une décomposition utilisant les polynômes de degré inférieur ou égal à 4 (ce qui correspond à 15 polynômes différents) est la décomposition minimale suffisante pour l’analyse du front d’ondes recueilli.

Le but de la décomposition est de déterminer la valeur des coefficients pour chacun des polynômes. Elle s’effectue par l’intermédiaire d’un calcul matriciel complexe effectué par ordinateur, qui consiste à minimiser la différence entre la surface exprimée par la somme des polynômes de Zernike affectés de leurs coefficients et la surface restituée par l’analyseur de front d’ondes.

Les coefficients sont déterminés afin que la somme des différences d’élévation entre les points de ces surfaces élevées au carré (Root Mean Square ou RMS) soit la plus faible possible. La décomposition en polynômes de Zernike n’est donc qu’une approximation de la surface du front d’ondes, et peut être sujette à certaines erreurs ou imprécisions, en particulier pour les fronts d’ondes présentant un nombre élevé d’aberrations optiques de haut degré (patients opérés de chirurgie réfractive, kératocône, décentrement…) (4).
La décomposition mathématique d’un front d’ondes en polynômes de Zernike est un processus mathématique qui nécessite la normalisation du rayon de la pupille (la valeur du rayon de la pupille est supposée égale à 1 pour le calcul des coefficients). Toutefois, la distribution des polynômes et la valeur de chacun des coefficients varient en fonction du diamètre pupillaire obtenu lors du recueil du front d’ondes. Autrement dit, une variation de la valeur du diamètre pupillaire chez un même patient entre deux examens induit une variation dans la valeur des coefficients attribués aux différentes aberrations présentes au sein du front d’ondes étudié. En général, plus le diamètre pupillaire est grand, plus la valeur des coefficients attribués aux différents polynômes est élevée

Pour être interprétable, la comparaison entre deux examens successifs nécessite le recueil ou le calcul de la décomposition du front d’ondes pour un diamètre pupillaire identique.
De plus, les valeurs attribuées à chacun des coefficients RMS des polynômes utilisés pour l’analyse du front d’onde doivent être interprétés avec précaution. Si la qualité de la fonction visuelle dépend en partie du taux d’aberration présent au sein du front d’onde, elle n’est pas directement proportionnelle à ce taux et à la valeur des coefficients considérés séparément ou en groupe. Il existe en effet des compensations entre les aberrations optiques de différents degrés issues de la décomposition en polynômes de Zernike.

Interprétation du front d’ondes après décomposition en polynômes de Zernike

Un front d’ondes issu d’un œil théorique dépourvu d’aberrations optiques et recueilli par un système de type Hartmann- Schack est plat (on néglige les effets de la diffraction qui intéresseraient essentiellement le frontd’onde recueillis au travers d’une pupille de petit diamètre). Il n’y a pas de déphasage optique, donc pas de différence de chemin optique: l’oeil est optiquement « parfait »: seule la diffraction en réduit la qualité optique, et l’on parle d’oeil « limité par la diffraction ». Un tel oeil n’existe qu’en théorie, car les yeux humains présentent toujours un taux non nul d’aberrations optiques de haut degré.

L’existence d’aberrations optiques va induire un retard ou une avance de phase en certains points du front d’ondes. Selon le degré de l’aberration optique considérée, les retards et/ou avances de phase adoptent une distribution particulière. Certaines aberrations optiques sont corrélées avec un des premiers polynômes de Zernike, et nous étudierons celles-ci au travers de chacun de ces polynômes.

– A) Aberrations optiques en fonction de leur degré (ordre radial de la classification des polynômes de Zernike)

Aberrations de degré 0

Il s’agit de l’aberration de type « piston » : elle n’est pas responsable d’aberration optique, car le front d’ondes ne subit pas de déformation

Aberrations de degré 1
Il s’agit du tilt. Elles sont la conséquence d’un défaut d’inclinaison d’un ou plusieurs éléments constituant le système optique.

Aberrations de degré 2
Il s’agit du défocus, et de l’astigmatisme. Ces aberrations correspondent aux amétropies sphéro-cylindriques paraxiales (sphère et cylindre). Le défocus correspond à une déformation parabolique du front d’onde avec symétrie de rotation. L’astigmatisme représente également une déformation parabolique du front d’onde, mais qui varie avec le méridien considéré et possède une symétrie axiale. Il correspond à la combinaison de deux surfaces en forme de selle, dont la résultante est une surface du même type mais dont l’orientation fournit l’axe de l’astigmatisme.
(voir Rubrique Astigmatisme sur le site)

Aberrations de degré 3
Elles correspondent aux aberrations de type coma et trefoil (« trèfle »). Les polynômes qui les expriment ne présentent pas de symétrie de rotation ni de symétrie axiale. Elles traduisent un défaut d’alignement (décentrement) des éléments constituant le système optique. Leur taux augmente notablement après LASIK ou PKR, reflétant probablement une relative imperfection dans le centrage du traitement. Elles induisent un déphasage asymétrique prédominant sur les « bords » du front d’onde (augmentant avec la distance au centre de la pupille).

Aberrations de degré 4
Il s’agit des aberrations de sphéricité. Les polynômes qui les expriment présentent tous une symétrie axiale, et pour certains, une symétrie de rotation. Elles augmentent avec le diamètre pupillaire et traduisent un déphasage des points du front d’ondes situés à la périphérie de la pupille d’entrée. Elles augmentent considérablement après LASIK et PKR conventionnelles, mais également et de façon moindre après chirurgie guidée par l’aberrométrie. Elles traduisent l’existence d’un resurfaçage suboptimal au niveau de la périphérie de la zone optique et/ou un diamètre insuffisant de cette dernière par rapport à celui de la pupille.

Aberrations de degré supérieur à 4
Selon le degré, elles présentent une symétrie axiale (degrés pairs) ou non (degrés impairs). Elles traduisent l’existence d’imperfections optiques multiples non systématisées qui exercent un effet particulier au niveau des bords du front d’onde.. Elles ont en général une faible incidence sur la fonction visuelle sauf quand leur taux est particulièrement élevé (comme au décours d’une cicatrisation cornéenne irrégulière, d’une chirurgie incisionnelle ou d’une kératoplastie transfixiante).

-B) Application à l’interprétation du front d’ondes

Il faut garder à l’esprit que le « front d’onde » est une représentation abstraite d’un décalage de phase pour des ondes lumineuses monochromatiques. Les fonctions utilisées pour la représentation mathématique du front d’onde sont elles mêmes « abstraites », mais bien pratiques pour quantifier et caractériser les défauts optiques de l’oeil.

La notion même de « phase » est plus subtile qu’il n’y parait. Sur un plan d’eau où se déplace un train de vaguelettes, l’eau ne se déplace pas horizontalement, chaque molécule subit au passage de la vague un déplacement vertical. La phase de ces trains pourrait être visualisée comme le tracé relien les points de la surface de l’eau se trouvant à la même hauteur, et se dirigeant dans le même sens (vers le haut, ou vers le bas). Pour une vague rectiligne se propageant « tout droit », la phase sera elle-même représentée par une ligne droite. Une vague qui convergerait vers un point aurait un contour de phase circulaire. Cette vague verrait sa hauteur augmenter au fur et à mesure de sa propagation (renforcement lié à la convergence de l’onde), pour atteindre un centre où l’amplitude du déplacement vertical des molécules d’eau situées à cet endroit précis serait maximal. Ce centre serait, pour des ondes lumineuses, le foyer. Les photorécepteurs ne sont pas sensible à la phase (comme tous les détecteurs de lumière), mais à l’intensité (reliée à l’amplitude de la vague).

La forme globale d’un front d’ondes particulier dépend des aberrations optiques qui prédominent dans sa genèse. Schématiquement :
-en cas d’amétropie sphérique importante, le front d’onde aura une forme globalement parabolique ! cette parabole peut être approximée par une couple sphérique en première approximation; elle est centrée sur le punctum remotum de l’oeil amétrope.
-en cas d’amétropie myopique, le sommet de la parabole est dirigé vers l’arrière (le centre est retardé).
-en cas d’amétropie hypermétropique, le sommet est dirigé vers l’avant (les bords sont retardés).
-l’existence d’un astigmatisme associé induira une légère asymétrie axiale, particulièrement perceptible au niveau des bords de la parabole de révolution. En cas d’astigmatisme mixte, la forme du front d’onde ressemble à celle d’une chips de type « Pringle ».
-l’existence d’un taux d’aberrations sphériques élevé induit une élongation de la parabole, avec dépression ou voussure localisée de son sommet.
-enfin, la présence d’aberrations de type coma induit une élongation supplémentaire et asymétrique de la parabole.
En présence d’une amétropie sphéro cylindrique, les aberrations de haut degré ont en général un taux beaucoup plus faibles que les aberrations de bas degré (tilt, défocus, astigmatisme). La forme du déphasage qu’elles impriment est en général mieux analysé quand on extrait les aberrations de bas degré de la représentation du front d’onde.

Docteur Damien Gatinel